Примеры --- Решение задач из задачника Филлипова -- 176

№176

Найдем зависимость количества радия от времени. Пусть в момент времени  количество радия составляет , Найдем изменение количества радия за промежуток . Для краткости будем обозначать  и . Очевидно что за это время радия уменьшится на  грамм. Таким образом

Поделив обе части уравнения на  и перейдя к пределу при  получаем

Решив которое получим , неизвестную константу  найдем из начального условия  (по условию изначально было  радия)

Пусть в момент времени  было  радона. Найдем изменение количества радона за промежуток . За это время образуется  и распадается  радона. Таким образом

Поделив обе части уравнения на  и перейдя к пределу при  получаем линейное уравнение

Решаем однородное уравнение

Считая константу С зависящей от х, подставляем найденное решение однородного уравнения в исходное уравнение

Неизвестную константу  находим из условия что :

Таким образом,

Для нахождения максимального содержания радона найдем максимум функции :

 лет =  дня.

Ответ: 62 дня