Примеры --- Решение задач из задачника Филлипова -- 175

№ 175

Найдем зависимость количества соли в первом баке от времени.

Пусть в момент времени  в первом баке соли. Найдем, на сколько измениться количество соли за малый промежуток времени . Поскольку в баке  соли из 100 литров, а за единицу времени вытекает 5л смеси, то за  времени вытечет  соли, таким образом за время  количество соли в первом баке уменьшится на величину , или

Поделив обе части уравнения на  и перейдя к пределу при  получаем

Константу  найдем из начального условия – вначале в баке было 10 л соли, т.е.

Таким образом количество воли в первом баке изменяется со временем по закону

Найдем зависимость количества соли во втором баке от времени. Пусть во втором баке в момент времени   соли. Найдем, на сколько измениться количество соли за малый промежуток времени

За это время  соли перетечет с первого бака, в то же время  соли вытечет, таким образом

Поделив обе части уравнения на  и перейдя к пределу при  получаем

Таким образом, получаем линейное уравнение. Решаем однородное уравнение

Считая константу С зависящей от х, подставляем найденное решение однородного уравнения в исходное уравнение

Константу  находим из условия, что изначально во втором баке была чистая вода, т. е 

Таким образом количество соли во втором баке меняется по закону

Для нахождения момента максимальной концентрации соли найдем максимум функции

мин,

Количество соли  кг.

Ответ  мин, макс количество соли  кг