Примеры --- Решение задач из задачника Филлипова -- 441
№441
Сделаем замену
Тогда . Исходное уравнение примет вид
1)
2)
Таким образом, получили линейное уравнение относительно . Решаем однородное уравнение
Подставляем найденное решение однородного уравнения в исходное неоднородное уравнение
Таким образом, решение неоднородного уравнения имеет вид
Имеем уравнение, не разрешенное относительно производной.
Найдем полный дифференциал от обеих частей уравнения
Учитывая что получим
Таким образом
Окончательное решение в параметрическом виде
Для получения решения в форме, записанной в ответах достаточно положить
Мы решали уравнение, не разрешенное относительно производной. Проверим, существует ли особое решение.
Дифференцируем уравнение по . В результате получим
Подставив данное решение в исходное уравнение получаем равенство , что не является тождеством. Таким образом, особого решения не существует
Ответ: ,