Примеры --- Решение задач из задачника Филлипова -- 113
№113
Для приведения уравнения к однородному определим точку пересечения прямых и :
Вычтя из второго уравнения первое, получим . Подставив во второе уравнение находим
Сделаем замену
Сделав подстановку в исходное уравнение, получим
Получили однородное уравнение. Делаем замену
Проверим, является ли решением . Подставляем это решение в исходное уравнение:
.
Последнее равенство не является тождеством. Следовательно не является решением. Поделим обе части уравнения на , после раскрытия скобок и приведения подобных получим
Проверим, является ли решением:
Подставляем найденное решение в исходное уравнение:
0=0
Таким образом, получили тождество. Значит является решением исходного уравнения
Проверим, является ли решением уравнения.
Подставляем найденное решение в исходное уравнение:
0=0
Таким образом, получили тождество. Значит является решением исходного уравнения.
Делим обе части уравнения на . Получаем
Для нахождения интеграла справа разложим дробь на простые дроби методом неопределенных коэффициентов
Раскрыв скобки и приведя подобные получим
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему
Решив которую получим ,
Таким образом
Таким образом получаем
или
Попробуем из этого соотношения выразить через . Подставим :
Переходя от к по формулам , получим
Отметим, что в ответ можно не включать найденное ранее решение , поскольку оно входит в серию решений при .
Ответ: ,